Move Your Body!! —三角函數

在遊戲中，各個角色例如玩家、怪物，都需要移動，如果是水平或垂直移動，那很容易，只要增減x, y座標即可達成；但如果今天要移動的方向並非0, 90, 45度，而是60度呢？

或者，該如何找到朝向一個座標的方向？讓物件能夠行走到指定的位置。甚至是將座標旋轉，製造出可以旋轉的多邊形。

這些，都需要利用三角函數。

三角函數是什麼？

正如同上面我所描述的各個需求，三角函數其實就是 「轉換長度與角度」。
想一想，今天我們要朝著一個角度移動，我們不就是要將這個「角度」給轉換成x與y分別移動的「長度」嗎？算出到一個座標的「角度」，也是將x與y的「長度」換算而來。

因此，三角函數在遊戲開發中有著非常廣泛的用途，牽涉到一切物件的移動都需要依賴它。很幸運的，在Python中已經有開發好的函式庫，我只要呼叫並傳入數字就好，因此我們只需要專注在邏輯上面。

讓我朝著60度前進吧！

該如何讓玩家朝向60度前進？由於在遊戲中我們都是使用直角座標，因此我們要將「角度」以及「移動距離」轉換成x和y分別增加的量。這時就要使用三角函數最廣為人知的兩位大大：sin and cos !!

上圖連結自維基百科

先談談一個三角形的各部位名稱，首先請看 角A ，角A這個角很重要，在接下來的說明中，我們所提到的「角度」都會是指這個角的角度，而這個角度我們就稱為 theta ，由於電腦沒辦法打出來，接下來我會以 angle 代稱之。
而圖中的 邊a 則是所謂的對邊，我們y座標的值就是對邊的長度；而邊b則是鄰邊，我們x座標的值就是鄰邊的長度。最後邊h，就是斜邊，我們前進的距離就是斜邊的長度。
那在這個例子中，我們就是要將 a的角度 與 斜邊的長度 替換成 鄰邊與對邊的長度 。

那接下來介紹我們的幫手大大，首先是 sin 大大，sin大大會負責將我們的角度angle轉換成 斜邊為1時 對邊的長度，只要再將此數值乘上我們的斜邊長，就可以求出對邊長，也就是y座標的值了。
那 cos 大大其實做的也是差不多的工作，只是它負責的是鄰邊，也就是x。所以我們只要將cos所求出的值乘上斜邊長，就可以得到x的長度了。

那該如何請這兩位大大工作呢？由於sin與cos兩位大大都是函數，我們只要將angle放入「括號」中，送給它們處理，它們計算完，就會告訴我們答案了，是不是很簡單呢？
但是如果你就這樣傻傻的直接把60傳給它，它可是會森77的喔！因為sin與cos以及全部的三角函數，使用的都不是我們平常習慣的，360一圈的「度」，而是「弧度」。

弧度

弧度跟度一樣，是一種角度單位，度是360為一個單位，而弧度則是2倍圓周率為一個圓。
聽起來…好像是有點討厭的東西，算個角度也要扯到圓周率？真是夠了。但其實弧度的定義是十分優雅而簡潔的：

單位弧度定義為圓弧長度等於半徑時的圓心角
—維基百科

哇…我到底看了什麼…簡單來說，就是當一個扇形，它的弧長跟半徑相等時，它的圓心角就稱為「一弧度」，而一弧度則約為57.2957795度…看了很討厭?沒關係我們是工程師，這種工作就交給電腦去算就好了。
一個完整的圓它的弧度就會是 2pi，我們要將60度換算成弧度，就是將 (60 / 360) * 2pi = 60 * pi / 180 。
那我們就來寫一個換算的函數，來將「度」換成「弧度」。

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定義 函數 deg_to_rad 將「度(degree)」換為「弧度(rad)」
輸入：度
輸出：弧度
'''
import math    #引用了Python的 數學庫
def deg_to_rad (deg):
    return deg * math.pi / 180
# 其中的 math.pi 是一個定義在Python math 函式庫的常數，我們透過呼叫它來取得較精準的 pi 值。
# 實作者：林宏信

完成了弧度的處理，我們回到前面來計算三角函數。
大致的流程如下：將角度(angle)換為弧度(rad_angle)，再來將值分別傳入sin 與 cos 之中，將回傳值乘上移動距離(distance)，即可算出x, y分別須移動的量。

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定義 move函數 用來計算朝angle角度移動distance距離須移動之x, y座標
輸入：角度angle, 距離distance
輸出: (x, y) 元組，可用 x, y = move(angle, distance)來接收回傳值
'''
import math
class Player:
    def __init__(self):
        self.x = 0
        self.y = 0
        
    def move (angle, distance):
        rad_angle = deg_to_rad(angle)
        self.x += math.cos(rad_angle) * distance
        self.y += math.sin(rad_angle) * distance
# 實做者：林宏信 2018-7-26

叫那隻殭屍…給我滾開！！

在我的遊戲中，有一種怪物 —殭屍，它會不停朝著玩家移動，玩家碰到就會被攻擊。但問題來了，我們只會朝著一個「角度」前進，並不會朝著一組「座標」前進啊！

要朝著一組座標前進其實有兩種解法，一是先算出朝向目標的角度，再等速前進；二是算出x與y分別平均須移動多少。
在這個單元我會先介紹第二個方法，找出角度的部份我會放在下個單元介紹。

平均的 x 與 y

假設我們要從 (0, 0) 移動到 (3, 4) ，那我們就是將x座標增加3、y座標增加4。你可能會覺得：嗯…這還用說嗎？但是！假如我們今天要慢動作呢？
假如今天我不要一瞬間就從 (0, 0) 移動到 (3, 4)，而是分成十次進行呢？

簡單嘛！把 3 / 10、 4 / 10，一次移動 (0.3, 0.4) 不就好了？

是的，剛才這一串很像是廢話的描述，其實就是解題的關鍵！

怎麼說？從我們剛才的推論，我們得知，要將x平均移動，只要把總共需要移動的x長度，在本範例中就是3，除上分解的次數，在本範例中就是10。
不過，有時候我們並不知道要分解成幾次啊。如果我想要等速運動，我只會知道我的速度會是多少，但不會知道我總共要分解幾次，這該怎麼辦？

我們搬出距離與速度公式: 距離 = 速度 * 時間。所以時間就會等於 距離 / 速度。速度我們已經設定好了，那距離就是用畢氏定理，以此範例來說就是5，我們接下來用 distance 作為代號。

因此，計算x的完整算式就是：x / (distance / speed)，我們化簡一下，就會變成 x / distance speed。那y就會是 y / distance speed。

這一段…怎麼看起來有點眼熟？x就是鄰邊，distance就是斜邊，鄰邊除上斜邊…天啊！我們正在算三角函數！cos的定義就是鄰邊除上斜邊，而這正是我們現在正在做的！
所以其實我們並不一定要使用三角函數才能達成，有的時候，我們甚至可以透過實際的數字來「自己算出三角函數」。

那以下實做將定義在殭屍類別 Zombie 之中的物件方法：

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定義 Zombie 與 Zombie.near 方法，near輸入target目標與移動速度
輸入：target :帶有 x, y兩個屬性
     speed :移動的速度
輸出
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class Zombie:
    def __init__(self):
        self.x = 0
        self.y = 0
        
    def near (self, target, speed):
        x, y = target.x - self.x, target.y - self.y
        d = (x ** 2 + y ** 2) ** 0.5
        self.x += x / d * speed
        self.y += y / d * speed